Baris Dan Deret

Barisan dan Deret Aritmatika

Apa itu Barisan ?

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.  Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

• 1, 2, 3, 4, 5,6,7  (Bilangan 1 adalah suku pertama, bilangan 2 adalah suku kedua dst)
• 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 adalah suku ketiga, bilangan 17 adalah suku keenam).
• 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 adalah suku kedua, bilangan 10 adalah suku ketiga dst).

Sehingga jelas bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki pola tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n adalah deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya adalah konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita dapat menulis barisan aritmatika tersebut :

{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }

dimana:

• a adalah suku pertama, 
• b adalah nilai beda.

  Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

  1. Untuk mencari Suku ke-n :
  U_n = a + (n - 1)b
  dimana :
  

  • U_n: suku ke-n 
  • a: suku pertama 
  • b: nilai beda 
  • n: banyak suku
  
  2. Untuk mencari nilai beda :
  
  b = U_n-U_(n-1)
  dimana :
  

  • b adalah nilai beda
  • U_n: suku ke-n 
  
  3. Untuk mencari Suku Tengah 
  Kita dapat mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka digunakan rumus :
  
  U_t = a + U_n2
  dimana :
  

  • U_t adalah suku tengah
  • a adalah suku pertama
  • U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini bertindak sebagai suku terakhir)
  
  Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:
  
  U_t = a + (n-1)b2 dimana :
  

  • U_t adalah suku tengah
  • a adalah suku pertama
  • n menyatakan banyaknya suku
  • b menyatakan nilai beda

  
  Apa itu Deret Aritmatika

  Deret aritmatika adalah jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).
  Contoh :
  • 2 + 4 + 6 + 8 + 10
  • 3 + 6 + 9 + 12 + 15

  
  Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:
  

  S_n = n2 (a+U_n)
  atau
  S_n = n2 (2a + (n-1)b) dimana :
  

  • S_n menyatakan jumlah suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • U_n menyatakan nilai suku ke-n
  • b menyatakan nilai beda
  • n menyatakan banyaknya suku

  
  

 Contoh Soal : 

 * Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4     dan suku terakhirnya adalah 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Pembahasan

a = 4
U_n = 20
U_t= a + U_n2 = 20 + 42= 12

Jawab : a

* Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika adalah 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama adalah ...
a. 163
b. 326
c. 1975
d. 3950

Pembahasan

Rumus suku ke-n :
U_n = a + (n - 1)b

Suku ke-4 :
⇒ U₄ = 16 ⇒ a + 3b = 16 ......(Persamaan 1)

Suku ke-9 :
⇒ U₉ = 51 ⇒ a + 8b = 51 ......(Persamaan 2)

Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :

a + 8b = 51
a + 3b = 16
___________ _
    5b = 35
     b = 7

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5

Jumlah 25 suku pertama:
⇒ S_n=n2 (a+U_n)
⇒ S₂₅ = 252 (a + U₂₅)
⇒ S₂₅ = 252 (a + a + 24b )
⇒ S₂₅ = 252 (-5 - 5 + 24(7) )
⇒ S₂₅ = 252 (-10 + 168 )
⇒ S₂₅ = 252 158
S₂₅ = 1975

Jawab : c